More Derivative Examples

 

미적분과 도함수 -> 곡선에서의 기울기, 도함수

 

예시)

f(a) = a^2의 그래프

a가 2일 때 f(a)는 4가 되고, a를 오른쪽으로 밀어서 2.001이 되도록 하면 f(a)는 4.004가 된다.

a를 오른쪽으로 0.001만큼 밀면 f(a)는 그것의 네 배인 0.004만큼 증가함을 알 수 있다.

 

미적분 관점에서 이는 a=2일 때, f(a)의 기울기, 미분계수가 4라고 말한다.

미적분 표기법을 사용하면, a=2일 때, (d/da)*f(a) = 4이다.

 

이 함수 a^2에서는 a의 값이 다르면, 기울기가 다르다.

 

 

 

a가 5이면, a^2, f(a)는 25이다.

그리고 a를 5.001이 되도록 오른쪽으로 조금 밀면, f(a)는 약 25.010이 된다.

여기서는 a를 0.001만큼 밀어도 f(a)는 열 배가 증가한다.

따라서 a가 5일 때, (d/da)*(f(a))는 10이다.

a를 살짝 밀었을 때 f(a)는 a에 비해 열 배나 증가하기 때문이다.

 

곡선 위의 다른 위치마다 높이/밑변의 비율이 다 다르기 때문에, 점마다 미분계수가 다르다.

미적분 계산에서 공식적으로, a^2의 도함수는 2a로 기재되어 있다.

 

추가적인 내용)

두 개의 물결 표시는 근사치를 나타내는 기호인데, 여기서 정확히는 4.004가 아니라 끝에 001이 더 있다.

추가로 붙은 001은 a를 0.001만큼 밀었기 때문에 생긴 것이다.

만약 a를 무한소만큼 밀었다면,

이 오차는 없어지고 f(a)가 증가하는 양은 정확히 도함수에 a를 오른쪽으로 민 만큼을 곱한 값과 같다.

이것이 정확히 4.004가 아닌 이유는

도함수의 정의는 a를 미는 값으로 0.001이 아니라 무한소를 사용했기 때문이다.

 

---

 

아래의 이미지와 같이,

a^3에서 도함수는 3a^2 이고, log함수에서 도함수는 1/a이다. (계산에 따라 각 12배, 0.5배임을 확인)

 

---

 

도함수에 관해 기억해야 할 두 가지

 

1) 함수의 도함수는 함수의 기울기를 의미할 뿐이고,

함수의 기울기는 함수의 위치에 따라 다른 값을 가질 수 있다.

 

첫 예제였던 f(a) = 3a는 직선이었고, 미분계수는 모든 곳에서 3으로 같았다.

하지만 f(a) = a^2 이나, f(a) = log(a) 같은 경우,

선의 기울기가 다르기 때문에 위치가 달라지면, 도함수의 값이 달라진다.

 

2) 함수의 도함수를 찾아야 할 때, 여러 위치의 기울기에 대한 공식을 찾을 수 있다.

 

 

 

 

* 아래의 영상을 참고하여 정리한 내용입니다.

https://www.youtube.com/watch?v=5H7M5Vd3-pk&list=PLkDaE6sCZn6Ec-XTbcX1uRg2_u4xOEky0&index=12